내적의 성질들에 대한 증명을 간단하게 요약하겠습니다. 여기서는 유클리드 벡터 공간의 내적을 기준으로 설명합니다. 이 내적은 보통 \( \langle u, v \rangle \)로 표기되며, 실수 벡터 공간에서는 \( u \)와 \( v \)의 각 성분의 곱의 합으로 정의됩니다.
1. 가환성 (Commutativity)
유클리드 공간에서 내적은 다음과 같이 정의됩니다:
\[ \langle u, v \rangle = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i \]
가환성을 증명하기 위해 \( v \)와 \( u \)의 내적을 살펴봅니다:
\[ \langle v, u \rangle = \sum_{i=1}^{n} v_i u_i \]
스칼라 곱셈의 가환성에 의해 \( u_i v_i = v_i u_i \) 이므로, \( \langle u, v \rangle = \langle v, u \rangle \) 입니다.
2. 분배성 (Distributivity)
벡터의 덧셈에 대한 내적의 분배 법칙은 다음과 같이 증명됩니다:
\[ \langle u+v, w \rangle = \sum_{i=1}^{n} (u_i+v_i) w_i \]
\[ = \sum_{i=1}^{n} u_i w_i + \sum_{i=1}^{n} v_i w_i \]
\[ = \langle u, w \rangle + \langle v, w \rangle \]
각 항의 덧셈이 개별적으로 이루어지므로, 이는 내적의 분배 법칙을 만족합니다.
3. 스칼라 곱에 대한 결합성 (Associativity of Scalar Multiplication)
스칼라와 벡터의 곱에 대한 내적의 결합 법칙은 다음과 같이 증명됩니다:
\[ \langle ku, v \rangle = \sum_{i=1}^{n} (ku_i) v_i \]
\[ = k \sum_{i=1}^{n} u_i v_i \]
\[ = k \langle u, v \rangle \]
스칼라를 괄호 밖으로 빼내는 것은 스칼라 곱셈의 결합 법칙에 기반합니다.
4. 양의 정부호성 (Positive Definiteness)
벡터 \( u \)에 대한 내적의 양의 정부호성은 다음과 같이 증명됩니다:
\[ \langle u, u \rangle = \sum_{i=1}^{n} u_i u_i \]
\[ = \sum_{i=1}^{n} u_i^2 \]
각 성분의 제곱은 양수이거나 0이므로, 내적 \( \langle u, u \rangle \)은 항상 0 이상입니다. 또한, \( \langle u, u \rangle = 0 \) 이면 모든 성분 \( u_i \)가 0이어야 하므로, \( u \)는 영벡터입니다.
이러한 성질들은 내적이라는 연산이 가지는 기본적인 특성들로, 내적을 정의할 때 이 성질들을 만족해야 합니다. 유클리드 공간에서의 내적 외에도, 다른 벡터 공간에서 다양한 형태의 내적을 정의할 수 있으며, 각각의 내적은 이와 유사한 성질들을 만족해야 합니다.