이 이미지에 나와 있는 식은 선형변환 \( L \)의 행렬 표현에 대한 것입니다. 이를 예시를 통해 설명하겠습니다.
먼저, 벡터 공간 \( V \)의 기저 \( B_V = \{v_1, v_2, ..., v_n\} \)와 벡터 공간 \( W \)의 기저 \( B_W = \{w_1, w_2, ..., w_m\} \)가 있다고 가정해봅시다. 선형변환 \( L \)은 공간 \( V \)에서 \( W \)로 벡터를 매핑합니다.
선형변환 \( L \)의 행렬 표현 \( [L]_{B_V}^{B_W} \)를 구하기 위해서는, \( V \)의 기저 벡터들을 \( L \)을 통해 \( W \)로 매핑하고, 결과 벡터를 \( W \)의 기저 \( B_W \)에 대한 좌표 벡터로 표현합니다.
예를 들어, \( V \)와 \( W \)가 모두 \( \mathbb{R}^2 \)이고, 기저가 \( B_V = \{ (1,0), (0,1) \} \)이고 \( B_W = \{ (1,1), (1,-1) \} \)라고 해봅시다. 그리고 선형변환 \( L \)이 다음과 같이 주어진다고 가정해봅시다.
\[ L\left(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} x + y \\ x - y \end{bmatrix} \]
이제, \( L \)을 \( B_V \)의 각 벡터에 적용해봅시다.
1. \( L(v_1) = L\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)
2. \( L(v_2) = L\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \)
이제 \( L(v_1) \)과 \( L(v_2) \)를 \( B_W \)의 좌표로 표현해야 합니다. 이 경우, \( L(v_1) \)과 \( L(v_2) \)는 이미 \( B_W \)의 벡터와 같기 때문에, 좌표 벡터는 간단히 다음과 같이 됩니다.
1. \( [L(v_1)]_{B_W} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \)
2. \( [L(v_2)]_{B_W} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \)
따라서 \( L \)의 행렬 표현은 기저 \( B_V \)에 대해 기저 \( B_W \)에서 다음과 같이 됩니다.
\[ [L]_{B_V}^{B_W} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]
이 행렬은 \( V \)에서 \( W \)로의 선형변환 \( L \)을 나타내며, \( V \)의 각 기저 벡터가 \( W \)에서 어떻게 표현되는지를 보여줍니다. 이 예시에서는 \( L \)이 기저 \( B_V \)에서 \( B_W \)로의 단위 행렬이 되므로, \( L \)은 사실상 기저 \( B_V \)를 기저 \( B_W \)로 바꾸는 역할을 하는 동형사상입니다.
\( \mathbb{R}^2 \)에서 \( \mathbb{R}^3 \)로의 선형 변환을 예시로 설명해 보겠습니다. 이 예시에서는 선형 변환 \( L \)이 \( \mathbb{R}^2 \)의 벡터를 \( \mathbb{R}^3 \)의 벡터로 매핑하는 함수라고 가정합니다.
먼저, \( \mathbb{R}^2 \)의 표준 기저를 \( B_{\mathbb{R}^2} = \{e_1, e_2\} \)로 정의합니다, 여기서 \( e_1 = (1, 0) \)이고 \( e_2 = (0, 1) \)입니다. 그리고 \( \mathbb{R}^3 \)의 표준 기저를 \( B_{\mathbb{R}^3} = \{f_1, f_2, f_3\} \)로 정의합니다, 여기서 \( f_1 = (1, 0, 0) \), \( f_2 = (0, 1, 0) \), \( f_3 = (0, 0, 1) \)입니다.
선형 변환 \( L: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \)를 다음과 같이 정의해 보겠습니다:
\[ L\left(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} x \\ y \\ x+y \end{bmatrix} \]
이제 이 변환을 \( \mathbb{R}^2 \)의 기저 벡터 \( e_1 \)과 \( e_2 \)에 적용하면 다음과 같습니다:
\[ L(e_1) = L\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \]
\[ L(e_2) = L\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \]
이제, \( L(e_1) \)과 \( L(e_2) \)를 \( \mathbb{R}^3 \)의 표준 기저 \( B_{\mathbb{R}^3} \)에 대한 좌표 벡터로 표현하면, 그대로 유지됩니다(표준 기저에 대한 좌표이기 때문에). 따라서, \( L \)의 행렬 표현은 다음과 같이 됩니다:
\[ [L]_{B_{\mathbb{R}^2}}^{B_{\mathbb{R}^3}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \]
이 행렬은 \( \mathbb{R}^2 \)의 벡터를 \( \mathbb{R}^3 \)로 매핑하는 \( L \)을 나타내며, \( \mathbb{R}^2 \)의 각 기저 벡터가 \( \mathbb{R}^3 \)에서 어떻게 표현되는지를 보여줍니다. 예를 들어, \( \mathbb{R}^2 \)의 임의의 벡터 \( (a, b) \)에 대해 \( L \)을 적용하면 다음과 같습니다:
\[ L\left(\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ a+b \end{bmatrix} \]
이 행렬 표현을 통해, \( \mathbb{R}^2 \)의 모든 벡터는 \( \mathbb{R}^3 \)에서 세 번째 성
분이 첫 번째와 두 번째 성분의 합인 벡터로 매핑된다는 것을 알 수 있습니다.