선형 사상의 'ker’는 'kernel’의 줄임말로, 선형 사상에서 중요한 개념입니다. 고등학생 수준에서 이해하기 쉽게 설명하면 다음과 같습니다:
- Kernel (커널): 선형 사상 \( f: V \rightarrow W \)에 대해, 커널은 벡터 공간 \( V \)의 모든 원소 \( v \) 중에서 \( f(v) = 0 \) (즉, 선형 사상을 거쳐 0으로 매핑되는 원소들)의 집합을 의미합니다. 여기서 0은 벡터 공간 \( W \)의 영벡터입니다.
- 고유공간과 고유벡터의 관계:
- 고유벡터: 선형 변환 \( A \)에 대해, \( Av = \lambda v \)를 만족하는 벡터 \( v \)를 고유벡터라고 합니다. 여기서 \( \lambda \)는 고유값입니다.
- 고유공간: 특정 고유값 \( \lambda \)에 대해, 이 고유값을 갖는 모든 고유벡터의 집합을 고유공간이라고 합니다.
- Kernel과 고유공간의 관계:
- 선형 변환 \( A \)와 고유값 \( \lambda \)에 대해, \( Av = \lambda v \)는 \( (A - \lambda I)v = 0 \)으로 재구성될 수 있습니다. 여기서 \( I \)는 단위행렬입니다.
- 이 때, \( (A - \lambda I)v = 0 \)을 만족하는 모든 벡터 \( v \)의 집합, 즉 커널 \( \text{ker}(A - \lambda I) \)는 바로 고유값 \( \lambda \)에 해당하는 고유공간입니다.
- 즉, 커널은 고유공간을 구하는데 사용됩니다. 고유공간은 선형 변환에 의해 원래 벡터와 방향은 유지하되 크기만 변하는 벡터들의 집합이며, 이는 커널을 통해 찾아집니다.
이렇게 커널은 선형 사상에서 특정 조건을 만족하는 벡터들의 집합을 나타내며, 선형대수학에서 고유벡터와 고유공간을 이해하는 데 중요한 역할을 합니다.
네, 맞습니다. 커널(Kernel)은 함수에서 함숫값이 영(0)이 되게 하는 정의역의 원소들에 해당합니다. 선형 사상(함수)의 경우를 예로 들면, 선형 사상 \( f: V \rightarrow W \)에 대해 커널은 모든 벡터 \( v \) 중 \( f(v) = 0 \)을 만족하는 \( V \)의 원소들의 집합입니다. 이는 함수에서 x축(혹은 y축)과 교차하는 점들을 찾는 것과 유사한 개념으로 이해할 수 있습니다.
차원정리(Dimension Theorem)에서 커널(Kernel)과 이미지(Image)는 중요한 역할을 합니다. 이들은 선형 사상의 '입력 공간’과 '출력 공간’에 대한 정보를 제공합니다. 구체적으로 설명하자면:
- 커널(Kernel): 선형 사상 \( f: V \rightarrow W \)의 커널은 정의역 \( V \)의 모든 원소 중에서 함수 \( f \)를 거쳐 영벡터(0)로 매핑되는 원소들의 집합입니다. 커널은 선형 사상이 '어떤 정보를 없애는지' 나타냅니다. 즉, 어떤 벡터들이 사상을 통해 0으로 '축소'되는지 보여줍니다.
- 이미지(Image): 선형 사상 \( f: V \rightarrow W \)의 이미지는 정의역 \( V \)의 모든 원소에 대해 함수 \( f \)를 적용했을 때 나오는 결과값들, 즉 공역 \( W \) 내의 벡터들의 집합입니다. 이미지는 선형 사상이 '어떤 정보를 보존하거나 변환하는지' 나타냅니다.
차원정리는 이 두 개념을 연결합니다:
- 차원정리: 선형 사상 \( f: V \rightarrow W \)에 대해, \( V \)의 차원은 커널의 차원과 이미지의 차원의 합과 같습니다. 수식으로 표현하면, \(\text{dim}(V) = \text{dim}(\text{Kernel}(f)) + \text{dim}(\text{Image}(f))\)입니다.
이 정리는 선형 사상의 '정보 손실’과 '정보 변환’의 균형을 나타냅니다. 즉, 선형 사상이 얼마나 많은 정보를 없애고(커널), 얼마나 많은 정보를 새로운 형태로 출력하고(이미지) 있는지를 설명해줍니다.