행렬 \( M \)을 이용하여 동차 연립방정식 \( Mv = 0 \)의 해를 구할 때, 자유 변수는 우리가 임의로 값을 할당할 수 있는 변수입니다. 주어진 행렬 \( M \)에서 3번째부터 6번째 열까지는 자유 변수에 해당합니다.
주어진 행렬 \( M \)의 각 행은 다음과 같은 방정식을 나타냅니다:
1. \( v_1 - 4v_3 - 26v_4 - 37v_5 + 13v_6 = 0 \)
2. \( v_2 - 2v_3 - 12v_4 - 16v_5 + 5v_6 = 0 \)
여기서 \( v_3, v_4, v_5, v_6 \)은 자유 변수입니다. 이제 \( v_3 = s, v_4 = t, v_5 = u, v_6 = w \)로 설정하겠습니다. 이러한 설정은 우리가 이 변수들에게 어떤 값이든 할당할 수 있다는 것을 의미합니다. 그러면 위의 방정식을 다시 쓸 때, \( v_1 \)과 \( v_2 \)는 다음과 같이 표현됩니다:
1. \( v_1 = 4s + 26t + 37u - 13w \)
2. \( v_2 = 2s + 12t + 16u - 5w \)
따라서 벡터 \( v \)는 다음과 같이 표현될 수 있습니다:
\[
v = \begin{bmatrix}
v_1 \\
v_2 \\
v_3 \\
v_4 \\
v_5 \\
v_6
\end{bmatrix}
=
s \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 26 \\ 12 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + u \begin{bmatrix} 37 \\ 16 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + w \begin{bmatrix} -13 \\ -5 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
\]
이때, \( s, t, u, w \)는 자유 변수들로, 각각 \( v_3, v_4, v_5, v_6 \)에 해당합니다. 첫 번째와 두 번째 기저 벡터에서 \( v_3 \)의 위치에 1이 있는 것은, \( v_3 \)가 자유 변수 \( s \)에 해당하고, 이 자유 변수가 \( v_3 \)의 값을 1로 만들기 때문입니다. 다른 자유 변수들에 대해서는 해당 위치에 0이 있어야 합니다. 이렇게 해서 각 자유 변수에 대한 기저 벡터를 구성합니다.